八步五十分步之九。〕

又有积三百步，问为圆周几何？答曰：六十步。

〔于徽术，当周六十一步五十分步之十九。

淳风等按：依密率，为周六十一步一百分步之四十一。〕

开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。

〔此术以周三径一为率，与旧圆田术相返覆也。于徽术，以三百一十四乘积，

如二十五而一，所得，开方除之，即周也。开方除之，即径。是为据见幂以求周，

犹失之于微少。其以二百乘积，一百五十七而一，开方除之，即径，犹失之于微

多。

淳风等按：此注于徽术求周之法，其中不用“开方除之，即径”六字，今

本有者，衍剩也。依密率，八十八乘之，七而一。按周三径一之率，假令周六径

二，半周半径相乘得幂三，周六自乘得三十六。俱以等数除幂，得一周之数十二

也。其积：本周自乘，合以一乘之，十二而一，得积三也。术为一乘不长，故以

十二而一，得此积。今还原，置此积三，以十二乘之者，复其本周自乘之数。凡

物自乘，开方除之，复其本数，故开方除之，即周。〕

今有积一百八十六万八百六十七尺，

〔此尺谓立方尺也。凡物有高、深而言积者，曰立方。〕

问为立方几何？答曰：一百二十三尺。

又有积一千九百五十三尺八分尺之一，问为立方几何？答曰：一十二尺半。

又有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七，问为立方几何？答

曰：三十九尺八分尺之七。

又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七，问为立方几何？

答曰：一百二十四尺太半尺。

开立方

〔立方适等，求其一面也。〕

术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。

〔言千之面十，言百万之面百。〕

议所得，以再乘所借一算为法，而除之。

〔再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也。〕

除已，三之为定法。

〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。〕

复除，折而下。

〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。开平幂者，

方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，

折下一等也。〕

以三乘所得数，置中行。

〔设三廉之定长。〕

复借一算，置下行。

〔欲以为隅方。立方等未有定数，且置一算定其位。〕

步之，中超一，下超二等。

〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，

故又降一等也。〕

复置议，以一乘中，

〔为三廉备幂也。〕

再乘下，

〔令隅自乘，为方幂也。〕

皆副以加定法。以定法除。

〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。〕

除已，倍下，并中，从定法。

〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅

连于三廉之端，以待复除也。言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。〕

复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。

〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。〕

若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之。讫，开其母以报除。

〔淳风等按：分母可开者，并通之积先合三母。既开之后一母尚存，故开分

母，求一母，为法，以报除也。〕

若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。

〔淳风等按：分母不可开者，本一母也。又以母再乘之，令合三母。既开之

后，一母犹存，故令一母而一，得全面也。

按：“开立方”知，立方适等，求其一面之数。“借一算，步之，超二等”

者，但立方求积，方再自乘，就积开之，故超二等，言千之面十，言百万之面百。

“议所得，以再乘所借算为法，而以除”知，求为方幂，以议命之而除，则立方

等也。“除已，三之为定法”，为积未尽，当复更除，故豫张三面已定方幂为定

法。“复除，折而下”知，三面方幂皆已有自乘之数，须得折、议定其厚薄。据

开平方，百之面十，其开立方，即千之面十。而定法已有成方之幂，故复除之者，

当以千为百，折下一等。“以三乘所得数，置中行”者，设三廉之定长。“复借

一算，置下行”者，欲以为隅方，立方等未有数，且置一算定其位也。“步之，

中超一，下超二”者，上方法长自乘而一折，中廉法但有长，故降一等，下隅法

无面长，故又降一等。“复置议，以一乘中”者，为三廉备幂。“再乘下”，当

令隅自乘为方幂。“皆副以加定法，以定法除者，三面、三廉、一隅皆已有幂，

以上议命之而除，去三幂之厚。“除已，倍下、并中，从定法”者，三廉各当以

两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除。其开之不尽者，折下如

前，开方，即合所问。“有分者，通分内子开之。讫，开其母以报除”，“可开

者，并通之积，先合三母；既开之后，一母尚存，故开分母”者，“求一母为法，

以报除。”“若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一”，分

母不可开者，本一母，又以母再乘，令合三母，既开之后，亦一母尚存。故令如

母而一，得全面也。〕

今有积四千五百尺。

〔亦谓立方