了研究复杂

对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对

象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是

变得如此有用，使得它可以用许多 不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工

具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进

展。

不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，

必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这

种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何

部件的（有理线性）组合

「千僖难题」之三庞加莱（poincare）猜想：如果我们伸缩围绕一个苹果表

面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩

为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮

胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，

苹果表面是「单连通的」，而轮胎面不是。

大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，

他提出三维球面（四维空间中与原点有单位距离的点的全体）的对应问题。这个

问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

「千僖难题」之四黎曼（riemann）假设：有些数具有不能表示为两个更小的

数的乘积的特殊性质，例如，2，3，5，7，等等。这样的数称为素数；它们在纯

数学及其应用中都起着重要作用。

在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国

数学家黎曼（1826~ 1866）观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓

黎曼蔡塔函数z（s$ 的性态。著名的黎曼假设断言，方程z（s）=0的所有有意义

的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1，500，000，000个解验证过。证明

它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

「千僖难题」之五杨－米尔斯（yang- mills）存在性和质量缺口：量子物

理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大

约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何

对象的数学之间的令人注目的关系。

基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的

高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管

如此，他们的既描述重粒子、又在数学上 严格的方程没有已知的解。特别是，被

大多数物理学家所确认、并且在他们的对于「夸克」的不可见性的解释中应用的

「质量缺口」假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的

进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

「千僖难题」之六纳维叶－斯托克斯（navier- stokes）方程的存在性与光

滑性：起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我

们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都

可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些

方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实

质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

「千僖难题」之七贝赫（birch）和斯维讷通－戴尔（swinnerton- dyer）

猜想：数学家总是被诸如x^ 2y^ 2= z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题

着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这

就变得极为困难。

事实上，正如马蒂雅谢维奇（欲。v。matiyasevich）指出，希尔伯特第十问

题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有/一个整数解。当

解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与

一个有关的蔡塔函数z（s）在点s= 1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，

如果z（1）等于0，那么存在无限多个有理点（解），相反，如果z（1）不等于0，

那么只存在有限多个这样的点。